Machtsverheffen is een wiskundige operatie, die wordt geschreven als , waarbij twee getallen, het grondtal of de factor en de exponent , betrokken zijn. Als een positief geheel getal is, komt machtsverheffen overeen met herhaalde vermenigvuldiging; met andere woorden, een product van factoren van :

,

net zoals vermenigvuldiging met een positief geheel getal overeenkomt met herhaald optellen:

De uitdrukking heet macht van ; het is de n-de macht van .

Deze uitdrukking wordt uitgesproken als: tot de macht , of tot de -de macht, of ook kort tot de -de. Zo is tot de macht , of tot de derde: , met als het grondtal en als de exponent van de macht .

Machtsverheffen is een rekenkundige operatie van de derde orde.

Definitie

Voor het natuurlijke getal is de -de macht van het grondtal , genoteerd als , gedefinieerd als het product van factoren .

Uit deze definitie volgt ook dat

De gebruikelijke notatie is om de exponent , die het aantal factoren aangeeft, hoger te schrijven (superscript).

Voor is een aparte definitie nodig. Voor is de gebruikelijke definitie:

Met deze definitie blijft de betrekking geldig voor .

Door de uitbreiding van de definitie met:

zijn ook negatieve exponenten mogelijk.

Een verdere uitbreiding is:

waarmee ook gebroken exponenten mogelijk zijn.

Geschiedenis

De notaties en als afkortingen voor en komen voor bij Thomas Harriot in zijn postume werk Artis analyticae praxis uit 1631. René Descartes maakt uitgebreid gebruik van die notatie voor positieve gehele exponenten. John Wallis definieert negatieve en gebroken exponenten.[1]

Rekenen met machten

Bij het rekenen met machten kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande rekenregels. Daarbij is er steeds van uitgegaan dat de betrokken machten gedefinieerd zijn.

Voor is:

De afspraak is zo gekozen dat de genoemde rekenregels algemeen geldig zijn voor

  • voor , en ook voor als en geheel zijn.

Deze rekenregel houdt bijvoorbeeld in dat .

NB. machtsverheffen is dus ook niet associatief; d.w.z dat in het algemeen niet geldt dat

  • als geheel is of als

Als het grondtal is, geldt nog dat voor :

Met gebruikmaken van de natuurlijke logaritme en de exponentiële functie voor het positief grondtal geldt:

Omgekeerde bewerkingen

Daar machtsverheffen niet commutatief is,

terwijl

,

zijn er twee omkeerbewerkingen: worteltrekken en logaritme

en
en

Afgeleide

Vatten we de -de macht van op als functie van , dus voor zekere exponent is:

,

dan wordt de afgeleide gegeven door:

Vatten we een macht op als functie van de exponent, dus voor zeker grondtal is:

dan wordt de afgeleide gegeven door:

,

waarin de natuurlijke logaritme van is.

Machten en complexe getallen

Via wiskundige regels zijn ook machten met als exponent niet-natuurlijke en zelfs van complexe getallen gedefinieerd, zie bijvoorbeeld de formule van Euler

Reeksontwikkeling met machten

Functies kunnen als een reeksontwikkeling met machten geschreven worden. Een voorbeeld is de reeksontwikkeling voor een exponentiële functie Voor twee reële getallen, quaternionen of complexe getallen en , met , geldt

Nul tot de macht nul

In situaties waar de exponent niet continu verandert komt men de afspraak op een aantal plaatsen tegen:

Efficiënt berekenen van natuurlijke machten

Zie Machtsverheffing door kwadrateren voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als de exponent een natuurlijk getal groter dan 1 is, dan lijkt de berekening van achtereenvolgens vermenigvuldigingen te vereisen; het aantal bewerkingen kan echter drastisch verkleind worden door herhaalde malen te kwadrateren en met de oorspronkelijke te vermenigvuldigen. Zo kan de twaalfdemacht van worden uitgerekend door eerst de derdemacht op de gewone manier uit te rekenen (2 vermenigvuldigingen) en vervolgens het resultaat nog twee keer te kwadrateren (nog 2 vermenigvuldigingen, in totaal 4). Dit is vooral voordelig bij grote waarden van zoals die in de cryptografie optreden.

Zie ook

Externe link